Линейная алгебра

Материал из FFWiki.
Перейти к: навигация, поиск
Предмет Линейная алгебра Семестр 2 Тип семинар, лекция Отчётность зачёт, экзамен Кафедра Кафедра математики

О предмете

Линейная алгебра - абсолютно новый предмет, даже в физ-мат школах ее вообще никак не касаются. Поначалу обычно создается впечатление некоторой непонятности - зачем вообще оно всё нужно? То ли дело матан или ангем: сразу ясно, что, зачем и для чего. Несмотря на это первоначальное впечатление линалу стоит уделить особенное внимание, потому что потом, на 3 курсе, внезапно оказывается, что вся квантовая физика построена на линале. И чтобы как-то понимать кванты, уметь работать с матрицами, линейными операторами и прочими замечательными штуками, приходится срочно лезть в учебники 1 курса и пытаться наконец во всём разобраться.

Что особенно важно для физики, так это квадратичные формы и линейные операторы. Желающим дальше заниматься теоретическими вопросами еще стоит самостоятельно посмотреть тензорный анализ. Говорят, бывает полезно походить на спецкурс Бадьина по тензорам. Понимание тензоров полезно на электроде и в физике твердого тела.

Основные понятия

  • Линейное пространство - по сути, пространство, где работает принцип суперпозиции.
  • Евклидово пространство - пространство, где введено скалярное произведение элементов. С точки зрения классической физики мы живем в евклидовом пространстве.
  • Матрица - табличка с числами, изначально возникает для удобства решения систем линейных уравнений.
  • Линейный оператор - некоторый закон, по которому элементы линейного пространства преобразуются в элементы линейного пространства
  • Квадратичная форма - выражение особенного вида. Может быть эквивалентно записано в виде симметричной матрицы
  • Тензор - самое общее понятие линала. Если на пальцах - многомерная табличка с числами. Скаляр, вектор, матрица - это всё частные случаи тензора.

Материалы

Литература

Ссылки

Комментарии

Комментарий от анона: тензор – это геометрический объект в ЛП (отображение, ставящее в соответствие каждому базису ЛП некоторый числовой набор), с определенным законом преобразования при смене базиса (тензор, tensus – "напряженный"). Многомерная табличка с числами – инженерное определение, не отражающее никакой сути этого объекта. Тензор совершенно естественно возникает в любом линейном пространстве, и, как геометрический объект, нисколько не зависит от базиса, меняются только его координаты (совершенно определенным образом). Например, ненулевой вектор в пространстве. Имеет 3 координаты, зависящие от выбора системы координат. Но как вы оси не вертите, вектор ни своей длины, ни своего направления не изменит. Анон лично считает, что некорректно говорить что нечто – это частный случай тензора. Нечто может являться тензором, либо не являться. Мы же не говорим "Собака – частный случай животных". Матрица не является тензором, т.к. матрица представляет собой просто набор чисел, который никак не привязан ни к какому базису. А вот линейный оператор является тензором, и матрица линейного оператора преобразуется согласно тензорному закону преобразования. Билинейная форма (и, в частности, КФ) также является тензором. Е.Е. Букжалев однажды сказал анону важную мысль, что узнать, что объект является тензором в ЛП, можно только поменяв базис этого пространства. Квантмех больше строится на функане. Как выражался А.В. Бадьин, "линейная алгебра – это функан для бедных".

См. также